एकाधिकेन पूर्वेण: भिन्नों को दशमलव में बदलने के लिए (2)

भाग-2 (part-2)

यह पोस्ट है   एकाधिकेन पूर्वेण >भिन्नों के दशमलव प्रसार >भाग-2. अगर आपने भाग-1 नहीं पढ़ा है तो पहले उसे ही पढ़िए.

C.  उन भिन्नों का दशमलव प्रसार जिनके हर(Denominator) का अंतिम अंक 7 हो

जैसे:- 1/17, 1/27, 1/37, 1/127, 324/327,  1/19997

1/137 = ?

• हर(Deno.) में पूर्व अंक है 13 जिसका एकाधिक होगा 4 इसलिए सहायक भिन्न होगा: 0.1/14
• आवश्यक बात  :  'हर' का अंतिम अंक है 7, जो कि 9 से दो कम है इसलिए प्रत्येक बार (अगला) भाज्य के लिए RQ + 2Q  या फिर ,7  10 से 3 कम है इसलिए RQ''' या R(3Q)

नोट:- 'अगला भाज्य' के लिए दोनों तरीके से कार्य करके दिखाया गया है.

• 0. लिखने के बाद 1 को 14 से भाग देने पर, Q=0 और R=1.     (इसे लिखेंगे 10)
• अगला भाज्य होगा 10; [RQ + 2Q = 10x1+2x0 या RQ'''=1(3x0)=10=10 ]
• 10 को 14 से भाग देने पर, Q = 0 और R =10.     (इसे लिखेंगे 100)
• अगला भाज्य होगा 10(3x0) =100=100; इसे 14 से भाग देने पर, Q=7 और R=2    (इसे लिखेंगे 27)
• अगला भाज्य होगा 2(3x7)=2(21)=10x2 +21 = 41   [याद कीजिये, RQ=10R+Q]   41 को 14 से भाग देने पर, Q=2 और R=13    (इसे लिखेंगे 132)
• अगला भाज्य होगा 132 + 2x2  =136   [RQ+2Q]; इसे 14 से भाग देने पर, Q=9 और R=10   (इसे लिखेंगे 109)
• अगला भाज्य होगा =127 [RQ'''] इसे 14 से भाग देने पर, Q=9 और R=1   (इसे लिखेंगे 19)
• अगला भाज्य होगा =37  .......

इस तरह से 1/137 = 0.00729927....

अब एक बात पर ध्यान दीजिये कि यदि 'हर' 17 या 27 या 37 या ... अर्थात पूर्व का अंक छोटा हो तो हर को 7 से गुणा करके हर का अंतिम अंक 9 बनाया जा सकता है लेकिन अंश(numerator) में भी 7 से गुणा करना पड़ेगा.

जैसे -   1/17 = 7/119  या 1/27 = 7/189.  हाँ पर इस तरह से 1/27=7/189 का पूर्व 18 बन जायेगा और उसका एकाधिक 19, मतलब कि 19 से प्रत्येक बार आपको भाग देना पड़ेगा (मुश्किल नहीं है).  और जब 'हर' का अंतिम अंक 9 हो तब तो आपको पता ही है कि कितना आसान है दशमलव प्रसार करना. (यदि नहीं पता है तो भाग 1 देखिये).




D.उन भिन्नों का दशमलव प्रसार जिनके 'हर'(Deno.) का अंतिम अंक 6 हो.

 जैसे:- 1/16, 25/26, 16585/19996 इत्यादि.

1/16 को हम लिख सकते हैं 3/48 और जब अंतिम अंक 8 हो तो दशमलव प्रसार कैसे करें यह भाग-1 में बताया गया है. 
इसी तरह से छोटे-छोटे हरों वाले भिन्न जिनके हरों के अंतिम अंक 6 हो उनमें 3 से गुणा कर उन्हें 8 से अंत होने वाले हरों ,वाले  भिन्नों  में बदला जा सकता है.


55/56 का दशमलव प्रसार करना है :

• सहायक भिन्न होगा: 5.5/6
• 0. लिखने के बाद 55 में 6 से भाग देने पर Q=9 और R= 1 (इसे लिखेंगे 19 ).
• अगला भाज्य होगा:46 [19 + 3x9 =46] या [19''''= 1(4x9) = 1x10+36 =46] और 46 को 6 से भाग देने पर Q=8 और R= -2 (इसे लिखेंगे -28)
• अगला भाज्य होगा: 12   [कैसे?]  इसे 6 से भाग देने पर, Q=2 और R=0 ( इसे लिखेंगे 02)
• फिर अगला भाज्य होगा: 8 [कैसे ?] इसे 6 से भाग देने पर, Q=1 और R=2 (इसे लिखेंगे 21)
• अगला भाज्य होगा: 24; 6 से भाग देने पर, Q=4 और R=0 (इसे लिखेंगे 04) 
• ---------------------------------------
• --------------
• जितने अंक चाहिए उतना भाग देते रहें.

इस तरह से 55/56 = 0.19 -28 02 21 04 .....होगा.

E. उन भिन्नों के दशमलव प्रसार जिनके 'हर' का अंतिम अंक 5 या 4,3,2,1 हो.

नोट:- यहाँ पर जो भी बताया जायेगा वह अधुरा होगा और जिसका शेष भाग आवर्ती दशमलव भिन्न वाले पोस्ट में लिखा जायेगा.

5 से अंत हो:

  जैसे- 24/25, 163/165, 1895/1331.

•  ऐसे भिन्नों के हरों में 5 से भाग देने पर हर के अंत में 1 या 3 या 5 या 7 या 9 आ जायेगा.
•  अंश में 5 से भाग दे कर आसानी से 1,3,7,या 9 वाले हरों से भिन्न में बदल सकते हैं 

और यदि फिर से 5 आ गया है तो एक और बार 5 से भाग दे दीजिये. (ऐसा न हो कि आप 125 से भाग देने का प्रयास कर रहे हों एकाधिकेन पूर्वेण से, इसके लिए तो आप अंश और हर में 8 से गुणा कर दें; इसी तरह के और भी उदाहरण हो सकते हैं जहाँ आपको 'एकाधिकेन' की आवश्यकता भी नहीं )

• 9 और 7 के लिए तो पता है ही आपको; 1 और 3 तीन के लिए अभी बताएँगे.

1 से अंत हो:

जैसे- 1/21, 1/121, 59/61, 19999/20001 इत्यादि

• इन भिन्नों के हरों में 9 से गुणा कर उसे 9 वाले, हरों वाले भिन्न में बदला जा सकता है.
• एक आवश्यक बात:  भिन्न के हर को 9 से गुणा कर 9 से अंत होने वाले भिन्न में बदलना हमेशा अच्छा नहीं है क्योंकि 'हर' बहुत ही बड़ा हो सकता है जिससे कठिनाई बढ़ जाएगी,  इसके लिए एकाधिकेन पूर्वेण सूत्र के बिना ही हल करने का एक आसान नियम है. इस नियम पर हम आवर्ती दशमलव भिन्न में चर्चा करेंगे.

• संक्षेप में नियम:------------------------------
• यदि भिन्न 19/21 हो तो सहायक भिन्न होगा: 19-1/20 => 18/20=> 1.8/2;
• RQ से अगला भाज्य R(9-Q) मिलेगा. इसका मतलब Q के 9 के पूरक को वास्तविक Q बनाना है.

जैसे RQ = 18 हो तो अगला भाज्य होगा: 11=11;  25 हो तो 24=24

2से अंत हो:

जैसे- 1/12, 21/32, 169/172 इत्यादि

इस तरह के भिन्नों के हरों के 4 से गुणा कर 8 से अंत होने वाले हरों में बदल सकते हैं.

• सीधे-सीधे बनाने के लिए भी नियम है जो अभी संक्षेप में बताया जा रहा है.
• सहायक भिन्न वही होगा जैसे 1-से अंत वाले में होता है.
• संक्षेप में:---  यदि अगला भाज्य RQ=18 हो वास्तविक भाज्य R(9-2Q) = 17 होगा.

3 से और 4 से अंत हो:

इनमे भी सहायक भिन्न वैसा ही होगा जैसा ऊपर के दोनों में बताया गया.

3 वाले में: RQ से R(9-3Q)   और   4 वाले में: RQ से R(9-4Q) .

बहुत ही जल्द आपको आवर्ती दशमलव भिन्न - पोस्ट मिल जायेगा.

अगर आपको समझने में कोई परेशानी हो रही हो तो comment करके बतायें या आप हमारे facebook page पर भी सवाल कर सकते हैं .